Browsing by Author "Şevgin, Sebaheddin"

Now showing 1 - 7 of 7

Birinci Dereceden Lineer Diferansiyel Denklemlerin Hyers-Ulam Kararlılığı
(2013) Tanhan, Abdullah; Şevgin, Sebaheddin; Şevli, Hamdullah
Bu çalışmada öncelikle birinci mertebeden homojen ve homojen olmayan lineer adi diferansiyel denklemlerin Hyers-Ulam kararlılığı incelenmiştir. Daha sonra homojen olmayan birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin özel bir türünün Hyers-Ulam kararlılığı ispatlandı ve burada elde edilen sonuç ikinci mertebeden Cauchy-Euler denkleminin Hyers-Ulam kararlılığını göstermek için kullanılmıştır. Ayrıca lineer hale dönüştürülerek çözülebilen lineer olmayan birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerden Bernoulli ve Riccati diferansiyel denklemlerin Hyers-Ulam kararlılıkları ispatlanmıştır. Anahtar kelimeler: Lineer diferansiyel denklem, Hyers-Ulam kararlılığı, Cauchy-Euler denklemi, Bernoulli diferansiyel denklemi, Riccati diferansiyel denklemi.
Covıd-19 Özelinde Bulaşıcı Hastalıkların Matematiksel Modelleri Ve Bu Modellerin Niteliksel Analizi
(2025) Can, Ceren Gürbüz; Şevgin, Sebaheddin
Bu tezde, orijinal ve mutant virüslerle COVID-19 enfeksiyonu üzerine kısmen koruyucu bir aşının etkisi bölmeli deterministik bir matematiksel model kullanılarak araştırıldı. Geliştirilen model S (duyarlı), V (aşılanmış), I_1 (orijinal virüsle enfekte), I_2 (mutant virüsle enfekte) ve R (iyileşmiş) alt bölmelerinden oluşmaktadır. Modelde hem yapay aktif bağışıklığın (aşılanmış) hem de doğal aktif bağışıklığın (enfekte) etkisi dikkate alındı. Çalışmada, COVID-19'da orijinal virüsün ve mutant virüsün bulaşıcılık, iyileşme ve ölüm oranlarının farklılığı göz önüne alınmaktadır. Öncelikle yeni nesil matris yöntemi kullanılarak temel çoğalma sayısı elde edildi. Modelin hastalıksız denge noktasının ve endemik denge noktasının lokal kararlılığı Routh-Hurwitz kriteri ile ve global kararlılığı ise Lyapunov fonksiyonları yardımıyla analiz edildi. Castillo-Chavez ve Song Çatallanma Teoremi kullanılarak, aşının yeterince etkili olmadığı durumlarda ortaya çıkan ve temel çoğalma sayısı 1'in altında olsa bile hem hastalıksız hem de endemik denge noktalarının aynı anda var olmasına yol açan geriye doğru bir çatallanmanın varlığı gösterildi. Üç model parametresi parametre tahminiyle tahmin edildi ve modele duyarlı parametreler yerel duyarlılık analizi kullanılarak belirlendi. Aşı etkinliğini temsil eden parametrenin temel çoğalma sayısına en duyarlı parametre olduğu ve aşı etkinliğinin artırılmasının ikincil vakaların ortalama sayısını azaltacağı görüldü. Modelin dinamiklerinin altında yatan temel mekanizmaları göstermek ve analitik bulguları desteklemek için sunulan üç farklı simülasyon, aşı etkinliği ile salgının seyri arasında güçlü bir ilişki olduğunu, ikincil vakaların ortalama sayısını ve enfekte bireylerin salgının etkisi altında uzun süre kalma olasılığını azaltmak için daha yüksek etkili aşılar üretmenin ve aşılama oranını artırmanın gerekli olduğunu göstermektedir. Son olarak, salgının hangi koşullar altında kontrol edilebileceğini veya azaltılabileceğini anlamak için bir optimal kontrol problemi oluşturuldu. Enfekte bireylerin sayısını azaltmak ve kontrollerin maliyetini en aza indirmek için, Pontryagin'in maksimum prensibi yardımıyla halk sağlığı eğitimi, aşılama, tedavi ve izolasyon kontrol stratejilerini içeren bir amaç fonksiyonu oluşturulmuş ve çözülmüştür. Sayısal simülasyonlar, kontrol stratejilerinin uygulanmasının COVID-19 salgınının bulaşma dinamiklerini kontrol etmede etkili olduğunu göstermekte ve dört kontrolün aynı anda uygulanmasının üç, iki ve tek kontrolün uygulanması ile karşılaştırıldığında daha etkili olduğunu göstermektedir.
Hyers-Ulam Stability of Some Boundary-Value Problems
(2019) Unutur, Merve; Şevgin, Sebaheddin
Bu tez çalışmasında, bazı sınır-değer problemlerinin Hyers-Ulam kararlılığı ve Hyers-Ulam-Rassias kararlılığı incelendi. İlk olarak lineer olmayan iki-nokta sınır-değer probleminin kararlılığı bir genelleşmiş sabit nokta teoremi kullanılarak ispatlandı, ve daha sonra ağırlıklı uzay yöntemi adı verilen bir yöntem kullanılarak Hyers-Ulam-Rassias kararlılığa sahip olduğu gösterildi. İkinci olarak integral sınır koşullu lineer olmayan bir sınır-değer probleminin kararlılığı aynı yöntemler kullanılarak ispatlandı. Anahtar sözcükler: Ağırlıklı uzay yöntemi, Hyers-Ulam kararlılık, Hyers-Ulam-Rassias kararlılık, Sabit nokta teoremi, Sınır-değer problemi
Hyers-Ulam Stability of the First Order Nonhomogeneous Linear Dynamic Equation and Volterra Integro-Dynamic Equation on Time Scale
(2020) Çakıl, Makbule; Şevgin, Sebaheddin
Bu tez çalışmasında ilk olarak, zaman skalası üzerinde birinci mertebeden homojen olmayan lineer dinamik denklemin Hyers-Ulam-Rassias kararlılığı Jung'un (2006a) yöntemi kullanılarak gösterilmiştir. Sonra, ağırlıklı uzay yöntemi kullanarak zaman skalası üzerinde Volterra integro-dinamik denklemin Hyers-Ulam-Rassias kararlılığı gösterilmiştir. Ağırlıklı uzay yöntemi, bir ağırlık fonksiyonunun standart metrik ile çarpılmasıyla oluşturulan metrik ile donatılan metrik uzay üzerinde Banach Sabit Nokta Teoremini uygular. Ağırlıklı uzay yöntemi Hyers-Ulam-Rassias kararlılığı göstermek amacıyla ilk olarak Gavruta ve Gavruta (2010) tarafından kullanılmıştır. Bu çalışmada göz önüne alınan bu iki denklemin Hyers-Ulam-Rassias kararlılıkları, a ve b reel sayılar ve a
Layer-Adapted Meshes for Convection-Diffusion Problems
(2009) Karaaslan, Mehmet Fatih; Şevgin, Sebaheddin
Bu çalışmanın amacı, singüler pertürbeli problemlerin nümerik çözümünü bulmak için standart fark şemasında kullanılan sınır katmanına uyarlanmış şebekelerin pertürbasyon parametresine göre düzgün yakınsak yöntemler verdiğini gösteren teorik sonuçlar ortaya koymaktır. Bu doğrultuda, ilk olarak bu tip problemlerin bazı özellikleri incelenmiş ve çözümün grafiğinin hızla değiştiği tanım kümesinin ince geçiş katlarında problemin yapısına uygun şebekeler ele alınmıştır. Diferansiyel operatör ve fark operatörünün kararlılığını analiz etmek için önemli kavramlar verilmiştir. Sürekli problemin çözümüne ait türev sınırları elde edilmiş ve hata değerlendirmesini bulmak için sürekli ve fark probleminin sınır katmanı ile düzgün bileşenleri ayrı olarak ele alınıp kullanılmıştır. Bununla birlikte kesme hatası ve bariyer fonksiyonu tekniği yoluyla katmana uyarlı şebekeler için yakınsaklık analizi yapılmaktadır.Nümerik yöntemin pertürbasyon parametresine göre düzgün yakınsaklığını elde etmek için fark türevi, uygun şebeke ve kararlılık seçiminin etkinliği görülmektedir.
Mathematical Model of COVID-19 with Imperfect Vaccine and Virus Mutation
(2025) Can, Ceren Gürbüz; Şevgin, Sebaheddin
In this study, we investigated the effect of a partially protective vaccine on COVID-19 infection with the original and mutant viruses using a deterministic mathematical model. The model we developed consists of $S$ (susceptible), $V$ (vaccinated), $I_1$ (infected with the original virus), $I_2$ (infected with the mutant virus), and $R$ (recovered) subcompartments. In the model, we examined the effect of both artificial active immunity (vaccinated) and natural active immunity (infected). Since it is known that the recovery and mortality rates of the original virus and the mutant virus are different in COVID-19, we took this into account in the study. First of all, we obtained the basic reproduction number using the next-generation matrix method. We analyzed the local stability of the disease-free equilibrium point and the endemic equilibrium point of the model using the Routh-Hurwitz criterion and the global stability with the help of Lyapunov functions. Using the Castillo-Chavez and Song Bifurcation Theorem, we demonstrate the existence of a backward bifurcation that occurs when the vaccine is not effective enough, leading to the simultaneous existence of both disease-free and endemic equilibrium points, even when the basic reproduction number is below 1. We estimated the three model parameters by parameter estimation and identified the model-sensitive parameters by local sensitivity analysis. We found that the parameter representing vaccine efficacy is the most sensitive to the basic reproduction number, and that increasing vaccine efficacy will reduce the average number of secondary cases. The three different simulations we present to illustrate the basic mechanisms underlying the dynamics of our model and to support the analytical findings suggest that there is a strong relationship between vaccine efficacy and the course of the epidemic, and that it is necessary to produce vaccines with higher efficacy and increase the vaccination rate to reduce the average number of secondary cases and the likelihood that infected individuals will remain under the influence of the epidemic for a long time.
Numerical Solutions of Singularly Perturbed Riccati Equation
(2014) Şehitoğlu, Adem; Şevgin, Sebaheddin
Bu çalışmada singüler pertürbe Riccati diferansiyel denklemi için bazı nümerik yöntemler incelendi. İlk olarak bir üstel katsayılı fark şeması ele alındı ve bu şemanın perturbasyon parametresine göre düzgün yakınsak olduğu gösterildi. Daha sonra bu fark şemasının geliştirilmiş bir biçimi ele alındı ve yeni fark şemasının bir küçük ε parametresine göre optimal ve düzgün olduğu gösterildi. Son olarak nümerik örnekler verilerek, verilen fark şemaları ile bazı nümerik yöntemler karşılaştırıldı.