Bazı Lineer Olmayan İntegral Denklemlerin Çözümlerinin Varlığı ve Tekliği

Abstract

Bu tez çalışması altı bölüm içermektedir. Tezin birinci bölümü 'Giriş' başlığı altında sunulmaktadır. Bu bölümde, integral denklemlerle ilgili temel bilgiler, integral denklemlerinin sınıflandırılması, bu denklemlerin ortaya çıktığı bazı bilimsel alanlar, çözümlerinin varlığı ve tekliğini belirlemede kullanılan bazı yöntemler ile ilgili bilgilere yer verilmektedir. Tezin ikinci bölümü 'Kaynak Bildirişleri' başlığı altında sunulmaktadır. Bu bölümde, farklı veya benzer türden integral denklem modellerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği ile ilgili literatürde yapılmış çeşitli bilimsel çalışmalar verilmektedir. Bu çalışmalar ve kullanılan yöntemler kısaca özetlenmektedir. Tezin üçüncü bölümünde, bu tezde kullanılacak olan materyal ve yöntemler verilmektedir. Tezin 4.bölümünde ise, bu tezin içeriği ve amacıyla ilgili bazı temel bilgiler, tanımlar, teoremler vb. verilmektedir. Bu bölümde, sabit nokta teorisi ile ilgili temel kavramlar, metrik uzay tanımı, Bielecki metrik kavramı, Cauchy dizisi tanımı, norm tanımı, Euclidean normu, Chebyshev normu, daralma dönüşümü, Picard operatörü, bazı temel sonuçlar ve örnekler sunulmaktadır. Tezin beşinci bölümünde, bazı lineer olmayan integral denklemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği ile ilgili literatürde elde edilmiş bazı sonuçlar ve bu sonuçların ispatları sunulmaktadır. Bu sonuçların ispatı, Banach daralma dönüşümü ve T.A. Burton'a ait ilerleyici daralmalar tekniği yardımı ile yapılmaktadır. Verilen sonuçlardan birinin uygulaması olarak yeni bir örnek sunulmaktadır. Son olarak, tezin altıncı bölümünde ise, Banach uzayında bir fonksiyonel Volterra-Fredholm integral denkleminin çözümlerinin varlığı ve tekliği, vb. ile ilgili bazı sonuçlar sunulmaktadır. Ayrıca, ele alınan matematiksel modellerin özel durumlarında, uygulama olarak belirli bazı yeni örnekler verilmektedir. Anahtar kelimeler: Çözümlerin varlığı ve tekliği, Daralma dönüşümü, İlerleyen daralmalar, İntegral denklemlerThis thesis is structured into six chapters. Chapter 1, titled 'Introduction', provides basic information on integral equations, including their classification, applications in various scientific fields, and an overview of methods commonly employed to establish the existence and uniqueness of their solutions. Chapter 2, titled Literature Review, outlines previous research related to the existence and uniqueness of solutions for various forms of integral equations. The methodologies and significant findings from these studies are concisely summarized. Chapter 3 outlines the materials and methods used throughout the thesis. Chapter 4 introduces essential theoretical concepts relevant to the study, including definitions and theorems from fixed point theory. Key notions such as metric spaces, the Bielecki metric, Cauchy sequences, norm definitions (including Euclidean and Chebyshev norms), contraction mappings, Picard operators, and other fundamental results are discussed, supported by illustrative examples. Chapter 5 presents a series of results from the literature concerning the existence and uniqueness of solutions for certain classes of nonlinear integral equations. These results are rigorously proved using the Banach contraction principle and the progressive contraction technique introduced by T.A. Burton. A new example is also provided to demonstrate the applicability of one of the main results. Finally, Chapter 6 explores the existence and uniqueness of solutions for a functional Volterra-Fredholm integral equation in a Banach space. Furthermore, special cases of the proposed mathematical models are examined through newly developed illustrative examples. Keywords: Contraction mapping, Existence and uniqueness of solutions, Integral equations, Progressive contractions