Principal Curvatures of Submanifolds and Joachimsthal Theorem

Abstract

Bu çalışmada, altmanifold olan bir yüzeyin eğriliği kavramı ele alınarak tüm gerekli incelemeler yapılmıştır ve eğrilik kavramlarıyla bağlantılı olan teoremlerden Joachimsthal teoremi ve örnekleri verilmiştir. Bu tez sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümü olup yapılan çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde çalışmamız için gerekli olan tanım ve kavramlar ele alınmıştır. Bununla birlikte diferensiyellenebilir manifold örnekleri verilmiştir. Üçüncü bölümde Şekil operatörünün(Weingarten dönüşümü) tanımı verilmiş ve Şekil operatörü ile ilgili teoremler ispatıyla birlikte verilmiştir. Dördüncü bölümde Gauss dönüşümünün tanımı ve Şekil operatörü ile arasındaki ilişki aktarılmıştır. Beşinci bölümde Şekil operatörünün(Weingarten dönüşümü) matrisinin hesabı verilmiş ve örnekler çözülmüştür. Altıncı bölüme Temel formlar için genel tanım verilip I. ve II. Temel formların çıkarılışı verilmiştir. Yedinci bölümde Şekil operatörünün(Weingarten dönüşümü) cebirsel değişmezlerinin tanımları verilmiştir. Bu cebirsel değişmezlerin taban seçiminden bağımsız oldukları verilmiştir. Cebirsel değişmezlerle ilgili teoremler ispatları ile birlikte verilmiştir. Sekizinci bölümde Joachimsthal teoremi ve ispatı verilmiştir. Joachimsthal teoremi ile ilgili örnekler çözülmüştür.

In this study, it is investigated curvature of a surface which is submanifold. One of the theorems about curvature, Joachimsthal theorem and its examples is given. This thesis is consisted eight sections. The first section is informated about the studies, as introductions. In second section, it is given the required definitions and concepts. However it is given differantiable manifold examples. In third section, it is given Weirgarten transformation definition and proofs of the theorems about shift operator. In fourth section, it is transfered relations between Gauss transformation definition and shift operators. In fifth section, it is solved shift operator (Weingarten transformation) matrix calculation its examples. In sixth section, it is given fundamental definition and the rising of I-II Fundamental forms. In seventh section it is given the definitions of algebratic constants of shift operator. It is shown that this algebratic constant are independence from chosen bases. It is given theorems about algebratic constants with their proofs. In the eighth section Joachimstal theorem and its proof is given and examples solved about it.