Bazı Kesir Mertebeli Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Kübik B-Spline Sonlu Elemanlar Metoduyla Nümerik Çözümleri

Abstract

Altı bölümden oluşan bu tezin birinci bölümünde, kesir mertebeli diferansiyel denklemler ve B-spline sonlu elemanlar metodu hakkında literatür özeti verilmiştir. İkinci bölümde, tezin sonraki bölümlerinde kullanılacak temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, Caputo anlamında kesir mertebeli türev içeren düzensiz difüzyon denkleminin nümerik çözümleri kübik B-spline sonlu elemanlar metodu ile elde edilmiştir. Kapalı bir fark şeması önerilmiş ve bu şemanın kararlılık, yakınsaklık ve hata analizi yapılmıştır. Dördüncü bölümde, Caputo anlamında kesir türev içeren değişken katsayılı Tricomi-Keldysh denkleminin nümerik çözümlerini elde etmek için kübik B-spline sonlu elemanlar metodu kullanılmıştır. Kapalı bir fark şeması önerilmiş ve bu şemanın kararlılık ve yakınsaklık analizi yapılmıştır. Beşinci bölümde, Caputo anlamında kesir türev içeren, lineer olmayan Burger denkleminin nümerik çözümleri kübik B-spline sonlu elemanlar metodu ile elde edilmiştir. Kapalı bir fark şeması önerilmiş ve bu şemanın kararlılık ve yakınsaklık analizi yapılmıştır. Son bölüm ise tezin değerlendirildiği tartışma ve sonuç kısmından oluşmaktadır.

This thesis consists of six chapters. In the first chapter, a literature review on fractional-order differential equations and the B-spline finite element method is presented. In the second chapter, the fundamental definitions and theorems used in the subsequent chapters of the thesis are provided. In the third chapter, numerical solutions of the anomalous diffusion equation containing fractional derivatives in the Caputo sense are obtained using the cubic B-spline finite element method. An implicit finite difference scheme is proposed, and its stability, convergence, and error analysis are conducted. In the fourth chapter, numerical solutions of the variable coefficient Tricomi-Keldysh equation containing fractional derivatives in the Caputo sense are obtained using the cubic B-spline finite element method. An implicit finite difference scheme is proposed, and its stability and convergence analysis are performed. In the fifth chapter, numerical solutions of the nonlinear Burger equation containing fractional derivatives in the Caputo sense are obtained using the cubic B-spline finite element method. An implicit difference scheme is proposed, and its stability and convergence analysis are carried out. The final chapter consists of the discussion and conclusion sections where the thesis is evaluated.