The Explosion of the Solutions of Stocastic Heat Equations

Abstract

Bu tez çalışmasında, doğrusal olmayan stokastik dalga ve ısı denklemi çalışılmıştır. Bu amaçla ilk bölümde stokastik dalga ve ısı denklemi ve tarihi hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde çalıştığımız stokastik dalga ve ısı denkleminin literatür bildirişleri verilmiştir. Üçüncü bölümde ise tez boyunca kullanacağımız temel matematiksel tanım, teorem ve lemmalar hakkında bilgi verilmiştir. Dördüncü bölümde, stokastik dalga ve ısı denklemlerinin çözümlerin patlaması (blow-up) ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. Beşinci bölümde daha önceden çalışılmış parabolik tip doğrusal olmayan stokastik ısı denklemi uygun enerji eşitsizlikleri kullanılarak çözümün patladığı (blow-up) gösterilmiştir. Altıncı bölüm bu tezin orijinal kısmıdır. Doğrusal olmayan stokastik dalga denkleminin çözümünün patladığı incelenmiştir. Çalışmamızda uygun enerji eşitsizlikleri kullanılarak çözümün sonlu ve sonsuz zamanda var olup olmadığına bakılmıştır. Yedinci bölümde elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve bazı önerilerde bulunulmuştur.

In this thesis, nonlinear stochastic wave and heat equation are studied. For this purpose, stochastic wave and heat equation and history are given in the first chapter. In the second chapter, we present the literature about the stochastic wave and heat equation. In the third chapter, we give information about the basic mathematical description, theorems and lemma. In the fourth chapter, general information about blow-up of stochastic wave and heat equations is given. In the fifth chapter, the previously studied parabolic type nonlinear stochastic heat equation is shown to be the blow-up of the solution by using appropriate energy inequalities. The sixth chapter is the original part of this thesis. The solution of the nonlinear stochastic wave equation exploded. In our study, appropriate energy inequalities are used to determine whether the solution exists in finite and infinite time. The results obtained in the seventh chapter are summarized and some recommendations are made.