Analysis of Solutions of Stochastic Evolution Equations

Abstract

Doğrusal olmayan evrim denklemleri, sadece matematiğin birçok alanında değil, aynı zamanda fizik, mekanik ve malzeme bilimi gibi diğer bilim dallarında da ortaya çıkan, argüman olarak t zaman değişkenini içeren denklemlerdir. Fiziksel olayların modellenmesinde deterministik evrim denklemleri yetersiz olduğundan, deterministik evrim denklemlerine genellikle belirsizliğin etkisini içeren bir terim eklenir.Bu tezde bu terimlerin, yani gürültünün bazı evrim denklemlerinin çözümleri üzerindeki etkisini araştırıldı. Bu amaçla, çalışılan stokastik denklemlerin deterministik karşılıklarını elde etmek için Hermite dönüşümü ve Galilean dönüşümü kullanıldı ve daha sonra bazı analitik yöntemlerle çözümler elde edildi. Tezin ilk bölümü, stokastik diferansiyel denklemlere neden ihtiyaç duyulduğunu açıklayan motive edici bir örnek içermektedir. İkinci bölüm literatür taramasını özetlemektedir. Üçüncü bölümü, tezde kullanılan kavramlar, tanımlar ve kullanılan yöntemlerle ilgili ön bilgileri, dördüncü bölümü ise, Galilean dönüşümü ve tanh, genişletilmiş tanh yöntemleri kullanılarak stokastik KdV-Burgers, stokastik KdV, stokastik Burgers, stokastik Kuramoto-Sivashinsky ve stokastik Kawahara denklemleri için elde edilmiş analitik çözümleri içermektedir. Ayrıca, stokastik Wick tipi bir genişletilmiş KdV denkleminin çözümleri Hermite dönüşümü ve Jacobi eliptik fonksiyonları kullanılarak bulunmuştur. Gürültünün etkisinin görülebilmesi için bazı çözümlerin grafiklerine de yer verilmiştir.

Nonlinear evolution equations are equations that contain the time variable t as an argument, appearing not only in many fields of mathematics but also in other branches of science such as physics, mechanics, and materials science. Since the deterministic evolution equations are insufficient in the modeling of physical phenomena, a term including the effect of uncertainty is usually added to the deterministic evolution equations. In this thesis, we investigate the effect of these terms, i.e. noise, on the solutions of some evolution equations. For this purpose, we use the Hermite transform and Galilean transform to obtain the stochastic equations deterministic counterparts and then use some analytical methods to obtain the solutions. The first chapter of the thesis includes a motivating example explaining why stochastic differential equations are needed. The second chapter summarizes the literature review. The third chapter contains the basic concepts, definitions, and preliminaries of the methods that are used in the thesis. In the fourth chapter, analytical solutions of stochastic KdV-Burgers, stochastic KdV, stochastic Burgers, stochastic Kuramoto-Sivashinsky and stochastic Kawahara equations are obtained by using Galilean transform and tanh, extended tanh methods. Moreover, the solutions of a stochastic Wick-type extended KdV equation are found by using Hermite transform and Jacobi elliptic functions. The illustrations of some solutions are given to see the effect of noise apparently.