Geometry of Rational Motions on Pythagorean Hodograph Curves and Pythagorean Normal Surfaces

Abstract

Bir rasyonel hareketin, bir noktaya, bir doğruya ve bir düzleme etkisinin yörüngeleri olan; eğri, regle yüzey ve zarf yüzeyinin Pisagor hodograf ve Pisagor normal özellikleriyle ilişkilerini incelediğimiz bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. Tezin ilk üç bölümünde sırasıyla; giriş, kaynak bildirişi ve tezde kullanılacak temel kavramlar verilmiştir. Dördüncü bölümde, rasyonel hareketin noktaya etkisiyle oluşan yörünge eğrisinin Pisagor hodograf eğri olma durumu açıklanmıştır. Beşinci bölümde, rasyonel hareketin doğruya etkisiyle oluşan yörünge yüzeyinin açılabilir yüzey olma durumuyla Pisagor hodograflık özelliği arasında bir ilişki bulunmuştur. Altıncı bölümde, tek parametreli rasyonel hareketin bir düzleme etkisiyle oluşan düzlemler ailesini oskülatör, normal veya rektifyen düzlemleri olarak kabul eden eğrinin bir Pisagor hodograf eğri olduğu keşfedilmiştir. Daha sonra, iki parametreli rasyonel hareketin bir düzleme etkisiyle oluşan düzlemler ailesinin zarf yüzeyi ile Pisagor normal yüzey oluşturulmuştur. Son olarak, yedinci bölümde, tezde yapılan çalışmalar için tartışma sunulmuş ve sonuçlar özetlenirken açık problemlere dikkat çekilmiştir.

This thesis consists of seven chapters in which we investigate the relationships between the Pythagorean hodograph and Pythagorean normal properties of curves, ruled surfaces, and envelope surfaces resulting from the act of a rational motion on a point, a line, and a plane, respectively. The first three sections of the thesis successively cover the introduction, literature review and basic concepts to be used in the thesis are included. In the fourth section, the case where the trajectory curve resulting from the act of rational motion on a point becomes a Pythagorean hodograph curve is explained. In the fifth section, a relationship is found between the property of the trajectory ruled surface becoming a developable surface under the act of rational motion on a line and the Pythagorean hodograph property. In the sixth section, it is discovered that the curve that accepts the family of planes formed by the act of a one-parameter rational motion on a plane as osculating, normal, or rectifying planes, is a Pythagorean hodograph curve. Then, the Pythagorean normal surface is created with the envelope surface of the family of planes formed by the act of a two-parameter rational motion on a plane. Finally, in the seventh section, a discussion is presented for the studies carried out in the thesis and open problems are pointed out while summarizing the results.