Numerical Solutions of Nonlocal Problems for Differential Equations

Abstract

ÖZETD FERENS YEL DENKLEMLER Ç NNONLOCAL PROBLEMLER N NÜMER K ÇÖZÜMLERŞ MŞEK, BilalYüksek Lisans Tezi , Matematik Anabilim DalıTez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Musa ÇAKIRKasım 2005, 47 sayfaBu çalışmanın amacı, nonlocal sınır şartlı ikinci mertebeden adidiferensiyel denklem için singüler perturbe sınır değer probleminin nümerikçözümlerini bularak bir sonlu fark metodunu göstermektir. Orijinal problem içindüzgün şebeke üzerinde üstel baz fonksiyonları ile ağırlık fonksiyonu ve integralbiçiminde kalan terim içeren interpolasyon kuadratür formülleri kullanılarak,uygulanan integral özdeşlikleri metodu ile ayrık maksimum normda ε 'a göre birincimertebeden düzgün yakınsak olan uygun üstel fark şeması kurulmuştur.Ayrıca nonlocal sınır şartlı ısı denklemi için θ â metodu ele alınmış olup1koşullu olmayan kararlılık, çok daha zayıf bir koşula bağlı θ â ¥ için ispatlanabilir.2Nonlocal sınır şartları sebebiyle θ â metodu tarafından genelleştirilmiş lineerdenklem sistemleri, ilk ve son satırları hariç üç köşegenli bir katsayı matrisinesahiptir. Burada önce lineer sistemlerin bu tipini çözmek için üç etkin algoritmaortaya konulmuş olup basit bir örnek verilerek onların yeterliliği karşılaştırılmıştır.Nümerik sonuçlar teorik sonuçları örneklerle açıklanmış bir şekildegösterilmiştir.Anahtar kelimeler : Nonlocal sınır şartı, Sınır değer problemi, Sınır katı,Singüler pertürbasyon, Uygun üstel sonlu fark şeması

ABSTRACTNUMERICAL SOLUTIONS OFNONLOCAL PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONSŞ MŞEK, BilalMsc, Mathematics ScienceSupervisor: Assist. Prof. Dr. Musa ÇAKIRNovember 2005, 47 pagesThe purpose of this paper is to present a finite difference method fornumerical solution of singularly perturbed boundary value problem for second orderordinary differential equation with nonlocal boundary condition.By the method of integral identities with the use of exponential basisfunctions and interpolating quadrature rules with the weight and remainder term inintegral form an exponentially fitted difference scheme on an uniform mesh isdeveloped which is shown to be ε -uniformly first order accurate in the discretemaximum norm for original problem.Next the θ â method for the heat equation with nonlocal boundary1conditions is discussed. The unconditional stability is proved for θ â ¥ . Due to the2nonlocal boundary conditions, the systems of linear equations generated by theθ â method have a coefficient matrix that is tridiagonal except example is given tocompare their efficiency.Numerical results are presented, which illustrate the theoretical results.Key words : Boundary layer, Boundary value problem, Exponentiallyfitted finite difference scheme, Nonlocal boundary condition, Singular perturbation.