Instability of the Solutions and Existence of the Periodic Solutions in Differential Equations

Abstract

Bu tez birinci ve ikinci bölümleri sırasıyla Giriş, Materyal ve Yöntem bölümleri olmak üzere toplam altı bölümden oluşmaktadır. Tezin üçüncü bölümünde, tez konusu ile ilgili olan bazı temel tanımlar, teoremler ve bir lemma verilecektir. Dördüncü bölümde, beşinci basamaktan lineer olmayan vektör diferansiyel denklemlerinin sıfır çözümlerinin kararsız olduklarını göstermek için bazı Lyapunov fonksiyonları tanımlanarak ispatlar yapılacaktır. Yapılan ispatlarda Krasovskii kriterleri esas alınacaktır. Beşinci bölümde, dördüncü bölümde ifade edilen beşinci basamaktan lineer olmayan vektör diferansiyel denklemlerinin sıfırdan başka periyodik çözümlerinin olmadığı durumu ele alınacaktır. Tezin son bölümünde ise altıncı ve yedinci basamaktan lineer olmayan bazı vektör diferansiyel denklemlerin sıfırdan başka periyodik çözümlerinin mevcut olmadığı durumu incelenecektir.Anahtar kelimeler: Diferansiyel denklemler, Lyapunov fonksiyonu, Kararsızlık, Periyodik çözümler.

This thesis consists of six chapters, first and second of which are Introduction and Material and Method. In the third chapter of the thesis, some fundamental definitions, theorems and a lemma related to the subject of the thesis are given. In the fourth chapter, to show that the zero solution of fifth order nonlinear vector differential equations is unstable, some Lyapunov functions are defined and the results are proved. In the proofs, Krasovskii criteria are taken as a basis. In the fifth chapter, the result that fifth order nonlinear vector differential equations defined in fourth chapter has no periodic solution other than the trivial solution is handled. In the last chapter of the thesis, the situation that sixth and seventh order nonlinear vector differential equations have no periodic solution other than the trivial solution is investigated.Key words: Differential equation, Lyapunov function, Instability, Periodic solutions.