Initial Value Problem for Delay Differential Equation and Its Solutions

Abstract

Bu çalışmada, ikinci mertebeden lineer gecikmeli diferansiyel denklem için başlangıç değer problemini ele almaktayız. Bu problemin hem analitik hem de nümerik çözümünü araştırıyoruz. Problemin analitik çözümünü bulmak için adımlar metodu ve Laplace dönüşümü metodunu kullanıyoruz. Nümerik çözüm için ise baz fonksiyon içeren ve kalan terimi integral biçiminde olan interpolasyon kuadratür formüllerini kullanarak, sonlu fark metoduyla bir fark şeması kuruyoruz. Bu şemanın kurulması, üstel baz fonksiyon içeren ve kalan terimi integral biçiminde olan interpolasyon kuadratür formüllerine dayanmaktadır. Dahası, metodun yakınsaklığı incelenmiş ve ayrık maksimum normda birinci mertebeye sahip olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, bir örnek üzerinde nümerik sonuçların teoriye uygunluğu doğrulanmıştır. Son olarak, önerilen şema açık Euler şeması ile karşılaştırılmıştır. Anahtar kelimeler: Başlangıç-değer problemi, Gecikmeli diferansiyel denklem, Hata değerlendirmesi, Sonlu fark metodu.

In this study, we deal with an initial value problem for a linear second order delay differential equation. We investigate both the analytical and numerical solution of this problem. We use the steps method and the Laplace transform for the analytical solution of the problem. We construct an appropriate difference scheme on a uniform using the method of integral identities which contains basis functions and interpolating quadrature rules with weight and remainder term in integral form for the numerical solution. We also proved that the method is first-order convergent in discrete maximum norm. Next, we present an example that confirms the theoretical results. Finally, we compare the proposed method with the implicit Euler method. Keywords: Delay differential equation, Error estimate, Finite difference method, Initial-value problem.