A Unit-Cauchy Distribution and Unit-Cauchy Family of Distributions

Abstract

Unit dağılımlar; (0,1) arasında değerler alan verilerin modellenmesinde, yeni dağılımların ailelerinin tanımlanmasında ve yanıt değişkenin sınırlı olduğu regresyon modellerinin oluşturulmasında önemli rol oynamaktadır. Bu nedenle araştırmacılar yeni unit-dağılımlar önermektedirler. Bu çalışmada, unit-Cauchy dağılımı elde edilmiş ve dağılımın parametresinin tahmininde en çok olabilirlik yöntemi kullanılmıştır. Kumaraswamy dağılımına benzer olarak unit-Cauchy dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, kümülatif dağılım fonksiyonu ve hazard oran fonksiyonu kapalı formda elde edilmiştir. Fakat çok iyi bilinen unit-dağılımlardan (iki şekil parametresine sahip beta ve Kumaraswamy dağılımları gibi) farklı olarak unit-Cauchy dağılımı yalnızca bir şekil parametresine sahiptir. Ayrıca, kalın kuyruklu dağılımların yeni bir ailesi (unit-Cauchy tarafından türetilen dağılım ailesi) kompozisyon tekniği yardımıyla elde edilmiştir. Daha sonra, unit-Cauchy-Normal dağılımı verilerin modellenmesinde kullanılan normal ve çarpık normal dağılımlarına alternatif olarak önerilmiştir. Bu çalışmanın sonunda ise gerçek veri setleri unit-Cauchy ve unit-Cauchy-Normal dağılımları ile modellenerek bu iki dağılımına uygulaması gösterilmiştir.

Unit-distributions play a key role in modeling data on unit interval (0,1), defining the families of continuous distributions, and constructing a regression model for bounded response. Therefore, researchers have proposed a new unit-distribution to model data and generate a new family of distributions. In this study, a unit-Cauchy distribution is introduced, and the maximum likelihood method is used for estimating its parameter. The probability density function, cumulative distribution function, and hazard rate function of the unit-Cauchy distribution are obtained in closed form like the Kumaraswamy distribution. It has only one shape parameter different from the well-known unit-distributions, such as the beta and Kumaraswamy distributions which have two shape parameters. Also, a new family of heavy-tailed distributions called unit-Cauchy-generated family of distributions is defined by using the composition technique. Then, a unit-Cauchy-Normal distribution is proposed as an alternative to the normal and skew-normal distributions for modeling data. Finally, real data sets are used to show the implementation of the unit-Cauchy and unit-Cauchy-Normal distributions.