Lyapunov Type Inequalities for Fractional Differential Equations

Abstract

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde kesirli analizin temel kavramları tanıtılacak ve Riemann-Liouville, Caputo ve dizisel (sequential) kesirli türevlerle ilgili temel tanım ve teoremler verilecektir. İkinci bölümde ikinci mertebeden lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklemlere ilişkin bir dizi Lyapunov tipi eşitsizlik, tarihsel süreç içerisinde sistematik bir biçimde sunulacaktır. Tezin üçüncü bölümünde sırasıyla Riemann-Liouville ve Caputo kesirli türeve sahip olan diferansiyel denklemi ve Dirichlet sınır koşullarını içeren kesirli sınır değer problemleri için Lyapunov tipi eşitsizliklerinin elde edilişi ve uygulaması üzerinde ağırlıklı olarak durulacak ve bu sonuçlar ispatlarıyla birlikte detaylı olarak verilecektir. Tezin ana bölümü olan dördüncü bölümde Dirichlet, Robin (ayrılmış) (Sturm–Liouville), anti-periyodik (periyodik olmayan), lokal olmayan, karışık, çok noktalı, klasik integralli (birinci mertebeden integral) ya da Riemann-Liouville kesirli integralli ve Riemann-Liouville veya Caputo kesirli türevli sınır koşullarına sahip 1<α≤2 mertebeli kesirli diferansiyel denklemler için elde edilen Lyapunov tipi eşitsizliklerin derlemesi yapılacaktır. Bu bölümde sadece Riemann-Liouville, Caputo ve dizisel (sequential) kesirli türevler içeren sınır değer problemleri için literatürde yer alan sonuçlara yer verilecektir. Ağırlıklı olarak lineer kesirli sınır değer problemleri için bulunan sonuçlar gösterilecek olsa da bazı lineer olmayan kesirli sınır değer problemleri için ispatlanan Lyapunov tipi eşitsizlikler de sunulacaktır. Son bölüm sonuç niteliğinde olup bu tezde yaptıklarımızın özeti şeklindedir.This thesis consists of five chapters. Chapter one is introductory and contains detailed information about the fractional calculus and the fundamental definitions and theorems of Riemann-Liouville, Caputo and sequential fractional derivatives. In the second section a sequence of Lyapunov type inequalities obtained for second order linear and nonlinear ordinary differential equations is presented systematically as a literure review. In the third chapter the detailed analyses of obtaining Lyapunov type inequalities for linear fractional boundary value problems including Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives, respectively, and Dirichlet boundary conditions are shown. The details of the proofs of the theorems and applications of Lyapunov type inequalities are presented. The fourth chapter of this thesis is devoted to a survey of results on Lyapunov type inequalities for fractional differential equations of order 1<α<2 associated with a variety of boundary conditions, which are Dirichlet, Robin (separated) (Sturm–Liouville), anti-periodic, nonlocal, mixed, multi point, integer order or fractional order integral and Riemann-Liouville or Caputo fractional derivative conditions. The considered fractional differential equations involve only Riemann–Liouville, Caputo and sequential type fractional derivatives. Although the main focus of this chapter is on Lyapunov type inequalities for linear fractional boundary value problems, some results obtained for certain related nonlinear fractional boundary value problems are presented as well. The last chapter serves as a conclusion and is a summary of our findings.