Lyapunov Stability in Cohen-Grossberg Neural Networks

Abstract

Bu tez çalışması, sürekli Cohen-Grossberg yapay sinir ağlarının kararlılık özelliklerini derinlemesine incelemeyi amaçlamaktadır. Çalışmanın odak noktası, Lyapunov tekniklerini kullanarak yeni ve etkin bir enerji fonksiyonu geliştirmektir. Bu enerji fonksiyonu, sinir ağının denge noktalarının varlığı, tekliği ve global asimptotik kararlılığı gibi kritik özelliklerini belirlemek için kullanılacaktır. Çalışmanın bir diğer önemli yönü, yapay sinir ağlarının elektrik devreleriyle olan benzerliğidir. Bu kavramsal benzerlik, ağın direnç ve kondansatör devresine benzetilmesini sağlar. Bu benzetme, daha önce Hopfield tarafından geliştirilen yapay sinir ağı modeli ile uyumludur. Aslında, Hopfield modeli, Cohen-Grossberg yapay sinir ağının bir özel durumu olarak kabul edilir. Lyapunov'un doğrudan metodu, bu çalışmanın temel analitik aracıdır. Bu metot kullanılarak, oluşturulan RC elektrik devresi üzerinden yeni bir enerji fonksiyonu tanımlanacak. Bu enerji fonksiyonu, ağın kararlılık özelliklerini değerlendirmek için kritik bir araç olacaktır. Çalışmada, Cohen-Grossberg yapay sinir ağının kararlılığı için bazı temel varsayımlar yapılacaktır. Bu varsayımlar, Rus matematikçi Lyapunov'un enerji değişim teorileriyle uyumlu bir şekilde belirlenmiştir. Lyapunov, enerji değişimini temel alarak sistemlerin davranışını ve kararlılık koşullarını analiz etmiştir. Enerji fonksiyonunun tanımlanması sürecinde, sinir ağının fiziksel karşılığı olan direnç ve kondansatör devre elemanları dikkate alınacaktır. Bu devre elemanları, enerji fonksiyonunun matematiksel yapısını oluşturmak için kullanılacaktır. Enerji fonksiyonu ve seçilen parametreler yardımıyla, ağın kararlılık özelliklerini açıklayan bir diferansiyel enerji denklem sistemi oluşturulacaktır. Bu denklem sistemi, direnç ve kondansatör gibi devre elemanları kullanılarak çözülebilecek karmaşık bir diferansiyel denklem setini temsil eder.This thesis aims to deeply examine the stability properties of continuous Cohen-Grossberg artificial neural networks. The focus of the study is to develop a new and efficient energy function using Lyapunov techniques. This energy function will be used to determine critical properties of the neural network, such as the existence of equilibrium points, uniqueness, and global asymptotic stability. Another important aspect of the study is the similarity of artificial neural networks to electrical circuits. This conceptual similarity makes the network resemble a circuit of resistors and capacitors. This analogy is compatible with the artificial neural network model previously developed by Hopfield. In fact, the Hopfield model is considered a special case of the Cohen-Grossberg artificial neural network. Lyapunov's direct method is the main analytical tool of this study. Using this method, a new energy function will be defined over the created RC electrical circuit. This energy function will be a critical tool to evaluate the stability properties of the network. In the study, some basic assumptions will be made for the stability of the Cohen-Grossberg artificial neural network. These assumptions were determined in accordance with the energy exchange theories of the Russian mathematician Lyapunov. Lyapunov analyzed the behavior and stability conditions of systems based on energy change. In the process of defining the energy function, resistor and capacitor circuit elements, which are the physical equivalent of the neural network, will be taken into account. These circuit elements will be used to create the mathematical structure of the energy function. With the help of the energy function and selected parameters, a system of differential energy equations will be created that explains the stability properties of the network. This system of equations represents a complex set of differential equations that can be solved using circuit elements such as resistors and capacitors.