On Noncommutative General Theory of Relativity

Abstract

Bu tezde sabit deformasyon parametresi 𝜃'ya göre diffeomorfizmaların deformasyonu temelli deforme olmuş uzaylar çalışılmıştır. Bu bağlamda, Moyal-Weyl yıldız çarpımı düşünülerek 𝐴! deforme olmuş cebiri üzerinde bir türev verilmiştir. Sonra, bu yapıda daha yüksek mertebeli diferansiyel operatörler araştırılmıştır. Son olarak, klasik cebir üzerindeki diffeomorfizmaların farklı komultiplikasyon ve Leibniz kuralları altında oluşturulan yıldız differensiyel operatörlere dönüşebileceği gösterilmiştir. Genel koordinat transformasyonu ile alışılagelmiş difeomorfizmaların Hopf cebirsel yapısı çalışılarak, yıldız diferensiyal operatörler yardımı ile deforme olmuş 𝐴! cebiri üzerinde bir difeomorfizm cebiri ortaya konulmuştur. Daha sonra, genişletilmiş hareket denklemi yardımıyla eylem varyasyonunu kullanarak Lagrangian elde edebilmek için deforme Poincare cebiri çalışılmıştır. Bu deforme cebirde, metrik ve tersi, metrik bağıntısı, eğrilik ve sonunda deforme koordinatlarda Einstein-Hilbert hareketi oluşturmak için tensörel hesaplama incelenmiştir. Sonra değişmeli olmayan kara deliğin yapısı incelenmiş ve yıldız çarpımı ile büküm tabanlı kozmolojisi hakkında çözüm yolları araştırılmıştır. Burada yıldız çarpımı ile kastedilen, kısmi türevlerden ziyade Killing vektörlerine göre Lie türevleridir. Olay ufku dışı değişmeli olmayan kara delik için çözüm fuzzy kabuklarını kapsayan yapı şeklindedir ve bu yapı holografiktir. Değişmeli olmayan kara deliğin içindeki çözüm, kara deliğin iç bölgesinin neredeyse boş olması için tekillik noktasında ve ufukta biriken iki sonsuz bulanık küre dizisini gösteren değişmeli olmayan de sitter uzayına göre tanımlanır.

In this thesis, we study the deformed spaces based on deformation of diffeomorphisms with respect to the constant deformation parameter 𝜃. In this order, we introduce a derivative on the deformed algebra 𝐴! by considering the Moyal-Weyl star product. Then, we look for the higher order differential operators in this construction. Finally, we see that the diffeomorphisms acting on the classical algebra can be mapped to the star differential operators while their comultiplication rules are different and consequently their Leibniz rule. By studying Hopf algebra structure of ordinary diffeomorphisms and its analogous with general coordinate transformation we can introduce a diffeomorphism algebra on the deformed algebra 𝐴! by using the action of star differential operators on 𝐴!. Later we study the deformed Poincare algebra to get Lagrangian which by using the variation of action we obtain the expanded equation of motion. Later we study the tensorial calculus in this deformed algebra to obtain metric and its inverse, metric connection, curvature and finally, the Einstein-Hilbert action on the deformed coordinates. Later we study the construction of non-commutative black hole and try to find its cosmology solution based on star product and twist. Here the star product is defined in terms of Lie derivatives with respect to the Killing vectors rather than partial derivatives. We see that the solution of non-commutative black hole outside of horizon shows it in the form of a structure consisting of fuzzy shells and it behaves holographically. The solution inside of non-commutative black hole is defined base on non-commutative de Sitter space which shows two infinite sequences of fuzzy spheres which accumulate at the singularity point and horizon so that the interior region of black hole is almost empty.