Stability and Boundedness in Stochasticdifferential Equations

Abstract

Bu tez, on bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, ilk olarak stokastik diferansiyel denklemlerin ortaya çıkış süreci, uygulamadaki yeri ve önemi belirtildi. Daha sonradan ise, stokastik diferansiyel denklemlerin çözümlerinin kararlılık ve sınırlılık vb. davranışlarıyla ilgili literatürde yapılmış olan bazı çalışmalar özetlendi. İkinci bölümde ise, bu tezde kullanılacak olan materyal ve yöntem belirtildi. Benzer biçimde üçüncü bölümde ise, ele alınan diferansiyel denklemlerin çözümlerinin stokastik kararlılığı, sınırlılığı vb. davranışları incelemek için kullanılacak yöntem, bazı temel tanımlar, teoremler, lemmalar, vb. verildi. Tezin beşinci, altıncı ve yedinci bölümlerinde, literatürde yer alan farklı biçimdeki lineer olmayan ikinci mertebeden gecikmeli stokastik diferansiyel denklemlerin çözümlerinin kararlılık, sınırlılık vb. bazı çalışmalar verildi. Bu çalışmadaki sonuçlar uygun Lyapunov-Krasovskii fonksiyonelleri yardımıyla ispatlanmıştır. Tezin sekiz, dokuzuncu ve onuncu bölümlerinde, yine literatürde yer alan farklı biçimdeki lineer olmayan üçüncü mertebeden gecikmeli stokastik diferansiyel denklemlerin çözümlerinin kararlılık, sınırlılık vb. bazı çalışmalar verildi. Bu çalışmadaki sonuçlar uygun Lyapunov-Krasovskii fonksiyonelleri yardımıyla ispatlanmıştır. Son bölümünde ise, bu tezde yaptığımız çalışmalara ilişkin tartışma ve sonuç kısmını içermektedir. Bu tez orijinal bir sonuç içermemektedir.

This thesis includes ten chapters. In the first chapter, at the beginning some historical information about stochastic differential equations, roles of that equations in scientific applications and their importance are given. Afterwards, we summarized some works on the stability, boundedness, etc., behaviors of solutions of certain stochastic differential equations, which are available in the literature. In the second chapter, the material and method to be used in this thesis were presented. Similarly, in the third chapter of this thesis, some basic definitions, theorems, lemmas, etc., are given such that they are used to investigate the stability, boundedness, ect., of solutions of stochastic differential equations considered in the thesis. In the fifth, sixth and seventh chapters of this thesis, we gave some result on the stability, boundedness and so on of solutions of various non-linear stochastic differential equations of second order with delay, which can be available in the literature are given. The stability, boundedness, etc., results of this thesis have been proved by using Lyapunov-Krasovskii functionals. In the eighth, ninth and tenth chapters of this thesis, we gave some result on the stability, boundedness and so on of solutions of various non-linear stochastic differential equations of third order with delay, which can be available in the literature are given. The stability, boundedness, etc., results of this thesis have been proved by using Lyapunov-Krasovskii functionals. In the last chapter, which is the final chapter of the thesis, a short conclusion related to the subject of the thesis is given. This thesis does not contain an original result.