Compact Operators in the Some Operator Algebras

Abstract

T kompleks ayrılabilir sonsuz boyutlu Hilbert uzay üzerinde bir sınırlı lineer operatör olsun. T* operatörü T operatörünün adjointi olmak üzere, I_H-T*T operatörü kompakt ise T bir öz izometrik operatördür ve TT*-T*T operatörü kompakt ise T bir öz normal operatördür denir. Operatörlerden oluşmuş bir uzayın sıfırdan farklı bir kompakt operatör içermesi operatörler teorisinin en önemli problemlerinden birisidir. Bu tezde öz normal operatörlerin komutantı içindeki kompakt operatörlerin var olup olmadığı incelenmiştir. T ?nin komutantından S ?nin kompaktlığı için S ve T operatörleri üzerinde bazı gerek ve yeter şartlar bulunur. Bu tezde bu şartlar konulmaya çalışıldı.. Üçüncü bölümde, sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verildi. Dördüncü bölümde, uygun bir giriş yapıldı ve tezin amacına yönelik bilgiler verildi. Beşinci bölümde, T operatörü öz izometrik operatör olmak üzere T ?nin komutantından S operatörünün kompaktlığı için S ve T operatörleri üzerinde bazı gerek ve yeter şartlar verildi. Altıncı bölümde, T operatörünün komutantı {T}' ile gösterilsin. T operatörü öz normal operatör olmak üzere ergodik şartlar aracılığıyla S?{T}' operatörünün kompakt olması için S ve T operatörleri üzerinde bazı gerek ve yeter şartlar bulunmuştur.

Let T be a bounded, linear operator on a complex, seperable, infinite dimensional Hilbert space H. T is an essentially isometric operator if I_H-T*T operator is compact and T is an essentially normal operator if TT*-T*T operator is compact where T* operator is the adjoint operator of T. It is one of the most important problem of the Operator Theory that an operator algebra contains a nonzero compact operator. In this thesis it is studied whether the commutant of essentially normal operators contains a nonzero compact operator or not. For the compactness of S from the commutant of T , some necessary and sufficient conditions are found on S. Chapter three; There are basic definitions and theorems which will be used in following chapters. Chapter four; The proper introduction is made and some informations about the purpose of thesis is given. Chapter five; Some necessary and sufficient conditions on S and T are given for the compactness of the operator S from the commutant of T , where T is an essentially isometric operator. Chapter six; Let T be an essentially normal operator. For the compactness of S from the commutant of T , some necessary and sufficient conditions on S and T are found. The compactness of S?{T}' via the ergodic conditions is also characterized.