İntegral Sınır Koşullu İkinci Mertebeden Fredholm Tipi İntegro-diferansiyel Denklemlerin Nümerik Çözümleri

Abstract

Bu çalışmada integral sınır şartlı ikinci mertebeden Fredholm integro-diferansiyel denklem için sınır değer problemi ele alınmıştır. Birinci bölümde, çalışmanın konusunu oluşturan problemin tarihsel gelişimi ele alınmıştır. İkinci bölümde, ele alınan problemle ilişkili bazı model denklemler sunulmuştur. Üçüncü bölümde, tez kapsamında ele alınan sınır değer problemlerinin çözümünde kullanılacak yöntemin temellerini oluşturmak amacıyla, bazı temel tanımlar, yardımcı teoremler ve ilgili teorik bilgiler sunulmuştur. Dördüncü bölümde, ikinci mertebeden lineer Fredholm integro-diferansiyel denklemler için bir sınır değer problemi ele alınmış ve bu problem için hem analitik değerlendirmeler yapılmış hemde nümerik çözümü detaylı olarak incelenmiştir. Problem için uygun bir nümerik yaklaşım geliştirilmiş, düzgün bir şebeke üzerinde fark şeması kurulmuştur. Ayrıca, önerilen yöntemin yakınsaklığı analiz edilmiş ve ayrık maksimum normda birinci mertebeden yakınsaklık sağladığı ispat edilmiştir. Son olarak, dört örnek problem üzerinden gerçekleştirilen sayısal uygulamalar ile nümerik sonuçların teorik sonuçlarla uyumlu olduğu yapılan analizde gösterilmiştir. Tezin son bölümünde, gerçekleştirilen çalışmalara ilişkin tartışmalara ve genel sonuçlara yer verilmiştir.In this study, the boundary value problem for a second-order Fredholm integro-differential equation with integral boundary conditions is addressed. In the first chapter, the historical development of the problem that constitutes the subject of the study is discussed. In the second chapter, some model equations related to the addressed problem are presented. In the third chapter, in order to establish the foundations of the method to be used in solving the boundary value problems considered in the thesis, some basic definitions, auxiliary theorems, and relevant theoretical background are provided. In the fourth chapter, a boundary value problem for second-order linear Fredholm integro-differential equations is considered. For this problem, both analytical evaluations have been performed and its numerical solution has been examined in detail. A suitable numerical approach has been developed, and a finite difference scheme has been constructed on a uniform grid. In addition, the convergence of the proposed method has been analyzed, and it has been proven that the method achieves first-order convergence in the discrete maximum norm. Finally, through numerical experiments conducted on four example problems, it has been demonstrated by analysis that the numerical results are in good agreement with the theoretical ones. In the final chapter of the thesis, discussions related to the conducted studies and general conclusions are presented.