The Solution of Perturbation Problems by Averaging Method and Some Applications

Abstract

Bu çalışmada, pertürbasyon problemlerinin yaklaşık çözümleri olan asimptotik açılımlarda ortaya çıkan seküler terimleri yok etmek amacıyla geliştirilen metotlardan ortalama metodu çeşitli lineer olmayan problemler üzerinde tanıtılmaktadır. Seküler terimler uzun zaman aralıklarında çözümün belirsizleşmesine yol açmaktadır. Bu sebeple açılımdaki seküler terimlerin yok edilmesi gerekmektedir. Bu tür pertürbasyon metotlarının lineer olmayan salınım problemlerinin yaklaşımları için önemi büyüktür. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde ortalama metodu ile ilgili giriş ve literatür bilgileri verilmiştir. Ortalama metodunun ortaya çıkışı, gelişim aşamaları ve literatürde yapılan bazı çalışmalardan bahsedilerek metodun önemi vurgulanmıştır. İkinci bölüm bu çalışmada kullanılacak temel tanım ve teoremlerden oluşmaktadır. Üçüncü bölümde birinci mertebeden ve yüksek mertebeden yaklaşımlar için ortalama metodu verilmektedir. Dördüncü bölümde Genelleştirilmiş Krylov-Bogoliubov metoduyla genelleştirilmiş Van Der Pol salınım denklemi, Rayleigh denklemi ve değişken uzunluklu sarkaç denklemi için yaklaşık çözümler sunulmaktadır. Beşinci bölümde ortalama metoduyla çözülen belirli Duffing ve Van der Pol denklemi sunulmaktadır. Bu örnekler için ortalama metodu dördüncü mertebe Runge-Kutta metoduyla test edilmiştir. MATLAB programlama diliyle yazılan programlarda teorik sonuçlar tablo ve grafiklerle desteklenmiştir.

In this study averaging method, one of the method for the purpose of eliminate secular terms which are emerge in asymptotic extension having approximate solution in perturbation problems is introduced on various nonlinear problems. Secular terms cause in long time intervals uncertain solution. Therefore, secular terms in the extension should be eliminated. Such perturbation methods are important for approximation of nonlinear oscillation problems. This thesis consists of five chapters. In the first chapter literature and introduction about averaging method are given. By mentioning about foundation and development stages and reporting some studies in the literature, emphasize the imporance of method. The second chapter consists of fundamental definitions and theorems which are used in this work. In the third chapter, averaging method for the first-order approximation and the higher-order approximation has been given. In the fourth chapter, Van Der Pol oscillation equation which is generalized by generalized Krylov-Bogoliubov method, Rayleigh equation and pendulum equation with variable length approximate solutions are presented. In the fifth chapter, examples of Duffing and Van der Pol equation solved by Averaging method are presented. These averaging method instances are tested by Runge-Kutta method with fourth order. In the programs, by MATLAB programming language, theoretical conclusions for various values are supported by tables and graphics.