Normal Operators in L2 Spaces and Almost Everywhere Convergence

Abstract

Biz bu tez çalışmasında L^p uzaylarında etki eden spektral operatörlerin derecelerinin farklı topolojilerde yakınsak olup olmadığını araştırıyoruz. (Ω,Σ,μ) bir ölçüm uzayı, L^2 (Ω,Σ,μ) ise 2. dereceden Lebesgue anlamında integrallenebilir fonksiyonlar uzayını göstersin. Daha önceki çalışmalarda bu uzaylarda etki eden normal operatörlerin derecelerinin kuvvetli topolojiye göre yakınsaklığı ve hemen hemen her yerde yakınsaklığı incelenmiştir. Tez çalışmasında, L^2 (Ω,Σ,μ) uzaylarında etki eden normal N operatörü ve bu operatöre bağlı ϕ(N) operatör fonksiyonu ele alınmaktadır. Burada ϕ fonksiyonu N operatörünün spektrumunda tanımlı sürekli fonksiyonudur. Daha sonra, 〖f∈L〗^2 (Ω,Σ,μ) olmak üzere, {ϕ(N)^k f}_(k∈N) dizilerinin yakınsaklığı ve hemen hemen her yerde yakınsaklığı araştırılmıştır. Tezin diğer kısmında Banach uzaylarında Hilbert uzaylarındaki normal operatörlerin genelleşmesi olan spektral operatörleri ele alınmıştır. T operatörü〖 L〗^p (Ω,Σ,μ) uzaylarında etki eden spektral operatör olmak üzere, bu uzaylarda {T^n f}_(n∈N) dizilerinin yakınsaklığını ve hemen hemen her yerde yakınsaklığını incelenmiştir. Anahtar kelimeler: Birkhoff teoremi, Daralma operatörleri, Ergodik teoremler, Halmos teoremi, İnvaryant vektörler, L^2-uzayında hemen hemen yakınsaklık, Normal vektörler, Uniter operatörler, von-Neumann teoremi

In this thesis, we investigate whether the degrees of spectral operators acting in L^p spaces converge in different topologies. Let us denote (Ω,Σ,μ) a measurement space, and L^2(Ω,Σ,μ) the space of integrable functions in the second order Lebesgue sense. In previous studies, the convergence of the degrees of the normal operators acting in these spaces according to the strong topology and the convergence almost everywhere were investigated. In the thesis, we consider the normal N operator acting in L^2 (Ω,Σ,μ) spaces and the ϕ(N) operator function connected to this operator. Here, ϕ is a continuous function defined in the spectrum of the N operator. Next, we examine the convergence and almost-everywhere convergence of {ϕ(N)^k f}_(k∈N) sequences, 〖f∈L〗^2 (Ω,Σ,μ). In the other part of the thesis, we consider spectral operators, which are the generalizations of normal operators in Hilbert spaces in Banach spaces. We examine the convergence and almost-everywhere convergence of {T^n f}_(n∈N) sequences in these spaces, with the T operator the spectral operator acting on L^p (Ω,Σ,μ) spaces. Keywords: Birkhoff's theorem, Contraction operators Ergodic theorems, Halmosh's theorem, İnvariant vectors, Normal vectors, Nearly-convergence in L^2-space, Unitary operators, von-Neumann's theorem,