On the Qualitative Behaviors of Solutions of Some Partial Differential Equations

Abstract

Bu tez çalışması sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez konusunun önemi kısaca belirtilmektedir. İkinci bölümde, tez konusu ile ilgili literatürde yapılan bazı çalışmalar özetlenmektedir. Üçüncü bölümde ise tezde kullanılacak materyal ve yöntemler açıklanmaktadır. Tezin dördüncü bölümünde, tez konusuna ait bazı temel tanımlar, temel eşitsizlikler, teoremler ve ilgili kavramlar sunulmaktadır. Beşinci bölümde ise, literatürde kısmi türevli bazı lineer diferansiyel denklemlere ait başlangıç-sınır değer problemlerinin çözümlerinin üstel kararlılığı ile ilgili elde edilen sonuçlar ele alınmaktadır. Bu bölümdeki sonuçlar Lyapunov fonksiyonları ve bazı temel eşitsizlikler yardımıyla incelenmektedir. Tezin altıncı bölümünde ise literatürde bazı lineer kısmi türevli diferansiyel denklemler ile ilgili bazı problemlerin niteliksel davranışları ile alakalı enerji fonksiyonları yardımıyla incelenen sonuçlar verilmektedir. Tezin yedinci bölümü ise lineer olmayan bir dalga denklemi ile ilgili başlangıç- sınır değer problemlerinin niteliksel davranışları ile ilgili bazı sonuçları içermektedir. Bu tez çalışmasının son bölümünde ise gecikmeli ve lineer olmayan kısmi türevli bir diferansiyel denkleme ait başlangıç- sınır değer problemlerinin kararlılık ve sınırlılık davranışları ile ilgili bazı sonuçlar ele alınmaktadır. Bu tez orijinal sonuç içermemektedir. Anahtar kelimeler: Asimptotik kararlılık, Cauchy-Schwarz eşitsizliği, Kararlılık, Kısmi türevli diferansiyel denklem, Lyapunov fonksiyonu, Lipschitz kararlılık, Poincaré eşitsizliği, Üstel kararlılık, Young eşitsizliği

This master thesis consists of eight chapters. Chapter 1 briefly highlights the importance of the thesis topic. Chapter 2 provides a summary of relevant studies from the literature related to the thesis topic. In Chapter 3, the materials and methods used in the thesis are presented. Chapter 4 provides some basic definitions, fundamental inequalities, theorems, and related concepts relevant to the thesis topic. Chapter 5 discusses results from the literature concerning the exponential stability of solutions to initial-boundary value problems for certain linear partial differential equations. These results are analyzed using appropriate Lyapunov functions and fundamental inequalities. Chapter 6 examines several qualitative behaviors of initial-boundary value problems associated with specific linear partial differential equations, as studied in the literature, utilizing energy functions. Chapter 7 presents results on the qualitative behavior of initial-boundary value problems related to a nonlinear wave equation. Finally, Chapter 8 introduces findings on the stability and boundedness properties of initial-boundary value problems for a delayed and nonlinear partial differential equation.This master thesis does not contain any original results. Keywords: Asymptotic stability, Cauch-Schwarz inequality, Differential equation, Exponential stability, Lyapunov function, Lipschitz stability, Poincaré inequality, Stability, Uniform asymptotic stability, Young inequality