Some Results of Fixed-Point Theorems for Set-Value Operators

Abstract

Bu tezde Banach uzayında küme değerli operatörler için sabit nokta teoremlerin bazı sonuçları çalışılmıştır. Tezde kullanılacak olan bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. Sonra küme değerli operatörlerin ve sabit nokta çalışmaların temeli olan Hausdorff metriği ve özellikleri anlatılmıştır. Küme değerli operatör kavramı da bu bölümde bazı örneklerle ifade edilmiştir. Daha sonra küme değerli daralma operatörleri için sabit nokta teorisinin temel referansı olan Nadler ve Reich'in sabit nokta teoremleri incelenmiştir. Çalışmanın esas kısmı Nadler teoremi üzerine yapılmış olan bir genelleme ile başlamaktadır. Akabinde (C_λ) koşulunu sağlayan daralma operatörleri incelenmiş, Keawchaern ve arkadaşlarının vermiş olduğu iki ana sonuç üzerinde durulmuştur. Bu sonuçlara bağlı olarak Opial koşullu operatör kavramından bahsedilmiştir. Sonraki bölümde Popescu'nun vermiş olduğu yeni bir tip daralma operatörü incelenmiş, Kikkawa – Suzuki tipi benzer yeni bir tür küme değerli operatör tanıtılmış ve bunlara bağlı sonuçlar ifade edilmiştir. Son bölümde ise küme değerli hemen hemen daralma tipleri, süreklilikleri ve sabit noktaları araştırılırmıştır. Berinde ve arkadaşlarının başlangıçta tek değerli ve akabinde küme değerli operatörler için elde etmiş oldukları sabit nokta ve süreklilik sonuçları ele alınmıştır.

In this thesis, some results of fixed-point theorems for set-valued operators in Banach space are studied. Some basic definitions and theorems that will be used in the thesis are given. Then, Hausdorff metric, which is the basis of set-valued operators and fixed-point studies, and its properties are explained. The concept of set-valued operator is also expressed with some examples in this section. Then, the fixed-point theorems of Nadler and Reich, which are the main references of the fixed-point theory for set-valued contraction operators, are examined. The main part of the study begins with a generalization made on Nadler's theorem. Afterwards, the contraction operators satisfying the (C_λ) condition are examined, and two main results given by Keawchaern et al. are emphasized. Depending on these results, the concept of Opial conditional operator is mentioned. In the next section, a new type of contraction operator given by Popescu is examined, a new type of set-valued operator like Kikkawa-Suzuki type is introduced and the related results are expressed. In the last section, set-valued almost contraction types, continuities and fixed points are investigated. The fixed point and continuum results obtained by Berinde et al. for single-valued and then set-valued operators were discussed.